Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
z=\frac{x y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
z = \frac{x\,y}{x+y}\,.
Conteúdo: derivada parcial e regra do quociente. Vamos tratar uma variável como variável de diferenciação e a outra como constante, aplicando a regra
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr)=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2}
e analogamente para \partial/\partial y.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Defina
u(x,y)=x\,y, \quad v(x,y)=x+y.
Então
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y, \quad v_x = \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{y\,(x+y) - (x\,y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{y\,x + y^2 - x\,y}{(x+y)^2} =\frac{y^2}{(x+y)^2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora tratamos x como constante:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x, \quad v_y = \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Aplicando a regra do quociente,
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{x\,(x+y) - (x\,y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{x^2 + x\,y - x\,y}{(x+y)^2} =\frac{x^2}{(x+y)^2}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y^2}{(x+y)^2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x^2}{(x+y)^2}.

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