Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x^3-2 x^2 y+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de primeira ordem. A função que precisamos trabalhar é f(x, y) = x^3 - 2x^2y + y . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las em relação a cada uma das variáveis, nesse caso, x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como f(x, y) , uma derivada parcial em relação a uma variável (digamos, x ) é a taxa de variação da função quando a outra variável ( y ) é mantida constante. Ou seja, para encontrar a derivada parcial em x , tratamos y como se fosse uma constante, e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de f em relação a x , que a gente denota por partial fpartial x .
A função é:
f(x, y) = x^3 - 2x^2y + y
Agora, derivando termo a termo em relação a x :
  1. Primeiro termo: x^3
    • A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 .
  2. Segundo termo: -2x^2y
    • Aqui, y é tratado como uma constante.
    • A derivada de -2x^2y em relação a x é -4xy .
  3. Terceiro termo: y
    • Como estamos derivando em relação a x e y é constante, a derivada de y é 0.
Então, juntando tudo:
partial fpartial x = 3x^2 - 4xy

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , denotada por partial fpartial y .
A função continua:
f(x, y) = x^3 - 2x^2y + y
Derivando termo a termo em relação a y :
  1. Primeiro termo: x^3
    • Como estamos derivando em relação a y e x é constante, a derivada de x^3 é 0.
  2. Segundo termo: -2x^2y
    • Aqui, x é tratado como uma constante.
    • A derivada de -2x^2y em relação a y é -2x^2 .
  3. Terceiro termo: y
    • A derivada de y em relação a y é 1.
Então, juntando tudo:
partial fpartial y = -2x^2 + 1

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x^3 - 2x^2y + y são:
partial fpartial x = 3x^2 - 4xy
partial fpartial y = -2x^2 + 1

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