Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de primeira ordem. A função que precisamos trabalhar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las em relação a cada uma das variáveis, nesse caso,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como
, uma derivada parcial em relação a uma variável (digamos,
) é a taxa de variação da função quando a outra variável (
) é mantida constante. Ou seja, para encontrar a derivada parcial em
, tratamos
como se fosse uma constante, e vice-versa.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
.
A função é:
Agora, derivando termo a termo em relação a
:
-
Primeiro termo:
- A derivada de
em relação a é .
- A derivada de
-
Segundo termo:
- Aqui,
é tratado como uma constante. - A derivada de
em relação a é .
- Aqui,
-
Terceiro termo:
- Como estamos derivando em relação a
e é constante, a derivada de é 0.
- Como estamos derivando em relação a
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
A função continua:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
Primeiro termo:
- Como estamos derivando em relação a
e é constante, a derivada de é 0.
- Como estamos derivando em relação a
-
Segundo termo:
- Aqui,
é tratado como uma constante. - A derivada de
em relação a é .
- Aqui,
-
Terceiro termo:
- A derivada de
em relação a é 1.
- A derivada de
Então, juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: