Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem das funções
e
. Isso está no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma superfície em 3D representada por
. A derivada parcial em relação a
(
) mostra como a função muda quando você muda
e mantém
constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
(
) mostra como a função muda quando você muda
e mantém
constante.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais da primeira função:
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Explicando: Quando derivamos
em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é 1, então multiplicamos por
.
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aqui, tratamos
como constante, e a derivada de
em relação a
é 1, então multiplicamos por
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função:
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Explicando: Derivamos
em relação a
, que dá
. Para
,
é tratado como constante, então a derivada é
.
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 0, porque
não depende de
. Para
, tratamos
como constante e derivamos
em relação a
, que dá
. Multiplicando por
, temos
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
Para
:
Para
: