Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x y
x^2+x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem das funções f(x, y) = xy e f(x, y) = x^2 + xy^2 . Isso está no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma superfície em 3D representada por f(x, y) . A derivada parcial em relação a x ( partial fpartial x ) mostra como a função muda quando você muda x e mantém y constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a y ( partial fpartial y ) mostra como a função muda quando você muda y e mantém x constante.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais da primeira função: f(x, y) = xy .
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = y
Explicando: Quando derivamos xy em relação a x , tratamos y como uma constante. A derivada de x em relação a x é 1, então multiplicamos por y .
Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = x
Aqui, tratamos x como constante, e a derivada de y em relação a y é 1, então multiplicamos por x .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função: f(x, y) = x^2 + xy^2 .
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 2x + y^2
Explicando: Derivamos x^2 em relação a x , que dá 2x . Para xy^2 , y^2 é tratado como constante, então a derivada é y^2 .
Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = 2xy
Aqui, a derivada de x^2 em relação a y é 0, porque x^2 não depende de y . Para xy^2 , tratamos x como constante e derivamos y^2 em relação a y , que dá 2y . Multiplicando por x , temos 2xy .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
Para f(x, y) = xy :
partial fpartial x = y e partial fpartial y = x
Para f(x, y) = x^2 + xy^2 :
partial fpartial x = 2x + y^2 e partial fpartial y = 2xy

Exercícios relacionados