Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções dos itens a), b), c), d), f) e h) do exercício 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão de calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse conhecimento duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma variável, digamos
, significa que vamos derivar a função considerando as outras variáveis (
e
) como constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): Aqui, trataremose como constantes. A derivada de em relação a é . Então:
-
Derivada parcial em relação a
( ): Agora, tratamose como constantes. A derivada de em relação a é . Então:
-
Derivada parcial em relação a
( ): Aqui,e são constantes. Precisamos usar a regra do produto, já que está multiplicando . Primeira parte: derivada deé 1, então temos . Segunda parte: derivada deem relação a é , multiplicado por . Então:
Passo 4
Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente cada uma das primeiras derivadas parciais em relação a
,
e
.
-
Segunda derivada parcial em relação a
duas vezes ( ): Derivamosem relação a :
-
Derivada parcial mista em relação a
e ( ): Derivamosem relação a :
-
Derivada parcial mista em relação a
e ( ): Derivamosem relação a :
-
Segunda derivada parcial em relação a
duas vezes ( ): Derivamosem relação a :
-
Derivada parcial mista em relação a
e ( ): Derivamosem relação a :
-
Segunda derivada parcial em relação a
duas vezes ( ): Derivamosem relação a :
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: