Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções dos itens a), b), c), d), f) e h) do exercício 1.
f(x, y, z)=z e^x y z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y, z) = z e^x y z . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicar esse conhecimento duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como f(x, y, z) , a derivada parcial em relação a uma variável, digamos x , significa que vamos derivar a função considerando as outras variáveis ( y e z ) como constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de f(x, y, z) = z e^x y z em relação a x , y e z .
  1. Derivada parcial em relação a x ( fx ):
    Aqui, trataremos y e z como constantes. A derivada de e^x y z em relação a x é y z e^x y z .
    Então:
fx = z cdot y z e^x y z = y z^2 e^x y z
  1. Derivada parcial em relação a y ( fy ):
    Agora, tratamos x e z como constantes. A derivada de e^x y z em relação a y é x z e^x y z .
    Então:
fy = z cdot x z e^x y z = x z^2 e^x y z
  1. Derivada parcial em relação a z ( fz ):
    Aqui, x e y são constantes. Precisamos usar a regra do produto, já que z está multiplicando e^x y z .
    Primeira parte: derivada de z é 1, então temos e^x y z .
    Segunda parte: derivada de e^x y z em relação a z é x y e^x y z , multiplicado por z .
    Então:
fz = e^x y z + x y z e^x y z = e^x y z(1 + x y z)

Passo 4

Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente cada uma das primeiras derivadas parciais em relação a x , y e z .
  1. Segunda derivada parcial em relação a x duas vezes ( fxx ):
    Derivamos fx = y z^2 e^x y z em relação a x :
fxx = y z^3 e^x y z
  1. Derivada parcial mista em relação a x e y ( fxy ):
    Derivamos fx = y z^2 e^x y z em relação a y :
fxy = z^2 e^x y z + x y z^3 e^x y z = z^2 e^x y z(1 + x y z)
  1. Derivada parcial mista em relação a x e z ( fxz ):
    Derivamos fx = y z^2 e^x y z em relação a z :
fxz = 2 y z e^x y z + x y^2 z^2 e^x y z = y z e^x y z(2 + x y z)
  1. Segunda derivada parcial em relação a y duas vezes ( fyy ):
    Derivamos fy = x z^2 e^x y z em relação a y :
fyy = x z^3 e^x y z
  1. Derivada parcial mista em relação a y e z ( fyz ):
    Derivamos fy = x z^2 e^x y z em relação a z :
fyz = 2 x z e^x y z + x^2 y z^2 e^x y z = x z e^x y z(2 + x y z)
  1. Segunda derivada parcial em relação a z duas vezes ( fzz ):
    Derivamos fz = e^x y z(1 + x y z) em relação a z :
fzz = x y e^x y z + x^2 y^2 z e^x y z = x y e^x y z(1 + x y z)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y, z) = z e^x y z são:
fxx &= y z^3 e^x y z fxy &= z^2 e^x y z(1 + x y z) fxz &= y z e^x y z(2 + x y z) fyy &= x z^3 e^x y z fyz &= x z e^x y z(2 + x y z) fzz &= x y e^x y z(1 + x y z)

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