Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções dos itens a), b), c), d), f) e h) do exercício 1.
w=sen(alpha) cos (beta)

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função w = sin(alpha) cos(beta) . Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas parciais de funções de duas variáveis. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções trigonométricas e entender como calcular derivadas parciais sucessivas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de w em relação a alpha . Isso significa que vamos derivar w considerando beta como uma constante.
partial wpartial alpha = partialpartial alpha [sin(alpha) cos(beta)] = cos(alpha) cos(beta)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de w em relação a alpha novamente. Ou seja, vamos derivar partial wpartial alpha em relação a alpha :
partial^2 wpartial alpha^2 = partialpartial alpha [cos(alpha) cos(beta)] = -sin(alpha) cos(beta)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial mista de w , primeiro em relação a alpha e depois em relação a beta . Já sabemos que:
partial wpartial alpha = cos(alpha) cos(beta)
Agora, derivamos isso em relação a beta :
partial^2 wpartial beta partial alpha = partialpartial beta [cos(alpha) cos(beta)] = -cos(alpha) sin(beta)

Passo 5

Vamos também calcular a derivada parcial de w em relação a beta :
partial wpartial beta = partialpartial beta [sin(alpha) cos(beta)] = -sin(alpha) sin(beta)

Passo 6

Por fim, calculamos a segunda derivada parcial de w em relação a beta novamente:
partial^2 wpartial beta^2 = partialpartial beta [-sin(alpha) sin(beta)] = -sin(alpha) cos(beta)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função w = sin(alpha) cos(beta) são:
partial^2 wpartial alpha^2 = -sin(alpha) cos(beta)
partial^2 wpartial beta partial alpha = -cos(alpha) sin(beta)
partial^2 wpartial beta^2 = -sin(alpha) cos(beta)

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