Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções dos itens a), b), c), d), f) e h) do exercício 1.
f(x, y)=x^3-2 x^2 y+y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^3-2x^2y+y
Para isso, primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y, e depois derivar cada uma delas para obter partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial xpartial y, partial^2 fpartial ypartial x e partial^2 fpartial y^2.

Passo 2

Derivando f em relação a x, tratando y como constante, temos
partial fpartial x = partialpartial xl(x^3r) -2,partialpartial xl(x^2yr) +partialpartial x(y) =3x^2-4xy

Passo 3

Derivando f em relação a y, tratando x como constante, obtemos
partial fpartial y = partialpartial yl(x^3r) -2,partialpartial yl(x^2yr) +partialpartial y(y) =0-2x^2+1 =-2x^2+1

Passo 4

Agora derivamos partial fpartial x=3x^2-4xy em relação a x para achar
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(3x^2)-partialpartial x(4xy) =6x-4y

Passo 5

Para as derivadas mistas, derivamos em cruz:
partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y(3x^2 - 4xy) = -4x
partial^2 fpartial y partial x = partialpartial x(-2x^2 + 1) = -4x

Passo 6

Finalmente, derivando partial fpartial y=-2x^2+1 em relação a y, como não há y nessa expressão,
partial^2 fpartial y^2 =0

Resposta

fxx(x,y)=6x-4y, fxy(x,y)=-4x, fyx(x,y)=-4x, fyy(x,y)=0

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