Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=px y+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x y + y^2 . Isso envolve entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções de duas variáveis. Vamos precisar saber como derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que escrevemos como partial fpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .
A função é:
f(x, y) = x y + y^2
Derivando termo a termo:
  • A derivada de x y em relação a x é y , porque y é constante.
  • A derivada de y^2 em relação a x é 0, já que não há x nesse termo.
Então:
partial fpartial x = y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , que escrevemos como partial fpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y .
A função é:
f(x, y) = x y + y^2
Derivando termo a termo:
  • A derivada de x y em relação a y é x , porque x é constante.
  • A derivada de y^2 em relação a y é 2y , aplicando a regra do poder.
Então:
partial fpartial y = x + 2y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x y + y^2 são:
partial fpartial x = y
partial fpartial y = x + 2y

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