Determine o dominio das funções abaixo e descreva geometricamente a região no plano x y
f(x, y)=\frac{1}{y+2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{1}{y+2x^{2}} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função (isto é, todos os pares (x,y) para os quais f está definida).
  • Descrever geometricamente essa região no plano xy.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do numerador é 1 (sempre definida).
  • A expressão do denominador é y+2x^{2}; valores que anulam esse denominador vão tornar f indefinida.

Passo 2

Regra básica (passo-a-passo didático): uma fração \dfrac{A}{B} com A e B expressões reais só está bem definida quando o denominador B for diferente de zero. Portanto, para f estar definida precisamos impor a condição
y+2x^{2}\neq 0.
Essa é a única restrição que vem do enunciado (não há raízes, logaritmos nem outras funções que imponham restrições adicionais).

Passo 3

Resolver a condição de exclusão explicitamente. Primeiro achamos onde o denominador é zero:
y+2x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=-2x^{2}.
Logo os pontos que não podem pertencer ao domínio são exatamente os pontos da curva \,y=-2x^{2}.
Então o domínio é o complemento dessa curva no plano \mathbb{R}^{2}:
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y+2x^{2}\neq 0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq -2x^{2}\}.

Passo 4

Descrevendo geometricamente a curva que foi excluída: a equação y=-2x^{2} representa uma parábola com vértice em (0,0), eixo de simetria ao longo do eixo y, e que se abre para baixo (porque o coeficiente de x^{2} é negativo). O fator 2 torna a parábola “mais estreita” que a parábola padrão y=-x^{2}. Exemplos de pontos na parábola: quando x=1 temos y=-2; quando x=2 temos y=-8; quando x=0 temos y=0.
A remoção dessa curva divide o plano em duas regiões abertas:
\{(x,y)\mid y>-2x^{2}\}\quad\text{e}\quad\{(x,y)\mid y<-2x^{2}\},
ambas contêm pontos do domínio. Assim geometricamente o domínio é o plano inteiro com a parábola \,y=-2x^{2}\, retirada.

Passo 5

Observações práticas para a prova (método rápido): ao ver uma função racional em (x,y), identifique o denominador, resolva a equação "denominador =0" para ver a curva/linha/pontos proibidos, e escreva o domínio como o conjunto complementado por esses pontos. Aqui ficou simples porque a solução da equação do denominador é a parábola y=-2x^{2}.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y+2x^{2}\neq 0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq -2x^{2}\}
Geometricamente: é o plano \mathbb{R}^{2} com a parábola \,y=-2x^{2}\, removida (ou seja, a união das regiões \{y>-2x^{2}\} e \{y<-2x^{2}\}).

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