Determine o dominio das funções abaixo e descreva geometricamente a região no plano
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função (isto é, todos os pares
para os quais está definida). - Descrever geometricamente essa região no plano
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do numerador é
(sempre definida). - A expressão do denominador é
; valores que anulam esse denominador vão tornar indefinida.
Passo 2
Regra básica (passo-a-passo didático): uma fração
com
e
expressões reais só está bem definida quando o denominador
for diferente de zero. Portanto, para
estar definida precisamos impor a condição
Essa é a única restrição que vem do enunciado (não há raízes, logaritmos nem outras funções que imponham restrições adicionais).
Passo 3
Resolver a condição de exclusão explicitamente. Primeiro achamos onde o denominador é zero:
Logo os pontos que não podem pertencer ao domínio são exatamente os pontos da curva
.
Então o domínio é o complemento dessa curva no plano
:
Passo 4
Descrevendo geometricamente a curva que foi excluída: a equação
representa uma parábola com vértice em
, eixo de simetria ao longo do eixo
, e que se abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). O fator
torna a parábola “mais estreita” que a parábola padrão
. Exemplos de pontos na parábola: quando
temos
; quando
temos
; quando
temos
.
A remoção dessa curva divide o plano em duas regiões abertas:
ambas contêm pontos do domínio. Assim geometricamente o domínio é o plano inteiro com a parábola
retirada.
Passo 5
Observações práticas para a prova (método rápido): ao ver uma função racional em
, identifique o denominador, resolva a equação "denominador
" para ver a curva/linha/pontos proibidos, e escreva o domínio como o conjunto complementado por esses pontos. Aqui ficou simples porque a solução da equação do denominador é a parábola
.
Resposta
Geometricamente: é o plano