Calcule as integrais duplas abaixo:
(f) integral duplaR x y e^x^2-y^2 d A, R=[-1,1] times[0,3].

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde a região é definida por . Isso significa que varia de a e varia de a . Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a troca da ordem de integração e propriedades de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
integral-1^1 integral0^3 x y e^x^2-y^2 , dy , dx
Aqui, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos focar na parte interna da integral, ou seja, a integral em relação a integral0^3 x y e^x^2-y^2 , dy :
x integral0^3 y e^x^2-y^2 , dy
Como é tratado como uma constante em relação a , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Para resolver esta integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
u = x^2 - y^2 Rightarrow dudy = -2y Rightarrow dy = du-2y
Substituindo na integral:
x integral e^u cdot du-2 = -x2 integral e^u , du = -x2 e^u + C
Retornando à variável original:
-x2 e^x^2-y^2 gr|0^3 = -x2 ( e^x^2-9 - e^x^2 )

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa:
integral-1^1 -x2 ( e^x^2-9 - e^x^2 ) , dx = -12 integral-1^1 x e^x^2-9 , dx + 12 integral-1^1 x e^x^2 , dx

Passo 6

Observamos que ambas as funções -12 cdot 0 + 12 cdot 0 = 0 e são funções ímpares, já que é ímpar e e são pares. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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