Vamos resolver a integral dupla , onde a região é definida por . Isso significa que varia de a e varia de a . Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a troca da ordem de integração e propriedades de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Vamos focar na parte interna da integral, ou seja, a integral em relação a :
Como é tratado como uma constante em relação a , podemos simplificar a expressão:
Passo 4
Para resolver esta integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Retornando à variável original:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral externa:
Observamos que ambas as funções -12 cdot 0 + 12 cdot 0 = 0 e são funções ímpares, já que é ímpar e e são pares. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto: