Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica em toda a equação para torná-la mais fácil de resolver. O fator integrante
é dado por:
Então, vamos calcular essa integral:
Como a constante
não afetará o fator integrante final, podemos ignorá-la. Assim:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Para achar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
A integral pode parecer complicada, mas observando a expressão no expoente, notamos que:
Isso sugere que podemos simplificar a integral usando substituição, mas para fins de simplicidade, vamos considerar que a integral resulta em
, já que a derivada disso nos dá o integrando original.
Passo 8
Então, temos:
Passo 9
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.