Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' + 4 x^2 y = (4 x^2 - x) e^(-x^2 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está no formato padrão:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica em toda a equação para torná-la mais fácil de resolver. O fator integrante é dado por:
Então, vamos calcular essa integral:
Como a constante não afetará o fator integrante final, podemos ignorá-la. Assim:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de . Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Para achar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

A integral pode parecer complicada, mas observando a expressão no expoente, notamos que:
Isso sugere que podemos simplificar a integral usando substituição, mas para fins de simplicidade, vamos considerar que a integral resulta em , já que a derivada disso nos dá o integrando original.

Passo 8

Então, temos:

Passo 9

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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