Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. da função: h(x, y) = e^(x^2 + y^2) - 2(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve conhecer o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas aquela variável varia, mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a , que denotamos por . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , . Novamente, tratamos como constante.
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Portanto,

Passo 5

Vamos agora para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, .
Partimos da primeira derivada:
Derivando novamente em relação a :
  1. Para :
    • Aplicamos a regra do produto:
  2. Derivada de em relação a :
Então,

Passo 6

Agora, a segunda derivada parcial mista, .
Começamos com a primeira derivada em relação a :
Derivando essa expressão em relação a :
  1. Para :
  2. Derivada de em relação a : (pois é tratado como constante)
Então,

Passo 7

Por fim, a segunda derivada parcial em relação a , .
Começamos com a primeira derivada:
Derivando novamente em relação a :
  1. Para :
    • Aplicamos a regra do produto:
  2. Derivada de em relação a :
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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