Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve conhecer o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, como
, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas aquela variável varia, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, que denotamos por
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
,
. Novamente, tratamos
como constante.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Portanto,
Passo 5
Vamos agora para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Partimos da primeira derivada:
Derivando novamente em relação a
:
- Para
: - Aplicamos a regra do produto:
- Derivada de
em relação a :
Então,
Passo 6
Agora, a segunda derivada parcial mista,
.
Começamos com a primeira derivada em relação a
:
Derivando essa expressão em relação a
:
- Para
: - Derivada de
em relação a : (pois é tratado como constante)
Então,
Passo 7
Por fim, a segunda derivada parcial em relação a
,
.
Começamos com a primeira derivada:
Derivando novamente em relação a
:
- Para
: - Aplicamos a regra do produto:
- Derivada de
em relação a :
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são: