Esboce a região de integração e calcule a integral.
(d) integralpi^2 pi integral0^pi cos y+sen x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, onde precisamos primeiro entender a região de integração e depois calcular a integral passo a passo. Vamos precisar das propriedades das funções trigonométricas e saber integrar em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos variando de a e, para cada valor de , varia de a . Isso forma um retângulo no plano com as seguintes coordenadas:
  • vai de 0 a
  • vai de a

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é integral0^pi cos y , dx + integral0^pi sin x , dx . Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então podemos separar a integral:

Passo 4

Integrando a primeira parte:
integral0^pi cos y , dx = cos y cdot integral0^pi dx = cos y cdot (pi - 0) = pi cos y
Agora, integrando a segunda parte:
integral0^pi sin x , dx = -cos x g|0^pi = (-cos pi) - (-cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2

Passo 5

Somando as duas partes, a integral interna fica:
pi cos y + 2
Agora, vamos integrar isso em relação a integralpi^2pi (pi cos y + 2) , dy de a :

Passo 6

Separando novamente a integral:
pi integralpi^2pi cos y , dy + integralpi^2pi 2 , dy
Integrando a primeira parte:
pi integralpi^2pi cos y , dy = pi cdot sin y g|pi^2pi = pi (sin 2pi - sin pi) = pi (0 - 0) = 0
Integrando a segunda parte:
integralpi^2pi 2 , dy = 2y g|pi^2pi = 2(2pi) - 2(pi) = 4pi - 2pi = 2pi

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados