Esboce a região de integração e calcule a integral.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, onde precisamos primeiro entender a região de integração e depois calcular a integral passo a passo. Vamos precisar das propriedades das funções trigonométricas e saber integrar em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos variando de a e, para cada valor de , varia de a . Isso forma um retângulo no plano com as seguintes coordenadas:
vai de 0 a
vai de a
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então podemos separar a integral:
Passo 4
Integrando a primeira parte:
Agora, integrando a segunda parte:
Passo 5
Somando as duas partes, a integral interna fica:
pi cos y + 2
Agora, vamos integrar isso em relação a integralpi^2pi (pi cos y + 2) , dy de a :
Passo 6
Separando novamente a integral:
pi integralpi^2pi cos y , dy + integralpi^2pi 2 , dy
Integrando a primeira parte:
pi integralpi^2pi cos y , dy = pi cdot sin y g|pi^2pi = pi (sin 2pi - sin pi) = pi (0 - 0) = 0