Obtenha soluções particulares para os problemas de valor inicial a seguir.
y y' = (x - 1) e^(-y^2), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar soluções particulares de um problema de valor inicial. Estamos lidando com uma equação diferencial, que é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar métodos de integração e aplicar a condição inicial fornecida, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o trabalho:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis e para poder integrar ambos os lados. Vamos dividir ambos os lados da equação por e multiplicar por :
Agora, podemos escrever isso como:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando pelo lado direito:
Onde é a constante de integração.
Agora, o lado esquerdo:
Para resolver , fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Assim:

Passo 6

Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :

Passo 8

Agora que temos o valor de , substituímos de volta na equação:

Passo 9

Para isolar , vamos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A solução particular do problema de valor inicial é:

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