Obtenha soluções particulares para os problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar soluções particulares de um problema de valor inicial. Estamos lidando com uma equação diferencial, que é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar métodos de integração e aplicar a condição inicial fornecida, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o trabalho:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para poder integrar ambos os lados. Vamos dividir ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Agora, podemos escrever isso como:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando pelo lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Agora, o lado esquerdo:
Para resolver
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 6
Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Passo 8
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação:
Passo 9
Para isolar
, vamos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é: