Calcule integral duplaD f(x, y) d x d y, sendo dados: f(x, y)=x^5 cos ^3 e D=(x, y) in R^2 ; y >= 2, x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre uma região . A região é definida por e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais em duas variáveis e entender bem como é a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região . A condição descreve um círculo com raio centrado na origem (0,0) no plano . Já a condição significa que estamos olhando apenas para a parte do plano onde é pelo menos 2.

Passo 3

Agora, vamos ver se essas duas condições se sobrepõem. Se , então . Mas a outra condição diz que . Se , então somar (que é sempre positivo ou zero) vai deixar pelo menos 4, que é maior que 2. Isso é impossível!

Passo 4

Como não existe nenhum ponto que satisfaça simultaneamente e , a região não contém nenhum ponto. Basicamente, a região é vazia.

Resposta

Portanto, a integral dupla é igual a .

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