Calcule as seguintes integrais:
, onde
é o retângulo definido por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde
é o retângulo definido por
e
. A matéria que estamos usando aqui é o cálculo de integrais duplas, que serve para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender como se parametrize uma região retangular simples.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a integral dupla. Como
é um retângulo com os limites de
entre 0 e 2 e de
entre 1 e 3, a integral fica assim:
Aqui, estamos integrando
primeiro em relação a
de 1 a 3, e depois em relação a
de 0 a 2.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
. Lembre-se que, ao integrar em relação a
, tratamos
como uma constante. Então, temos:
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Calculando a primeira parte:
Agora, a segunda parte:
Então, a integral em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 2:
Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Então, o valor da integral dupla é
.