Calcule as seguintes integrais: integral duplaR(x^2+y^2) d x d y, onde R é o retângulo definido por 0 <= x <= 2 e 1 <= y <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde é o retângulo definido por e . A matéria que estamos usando aqui é o cálculo de integrais duplas, que serve para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender como se parametrize uma região retangular simples.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral dupla. Como integral0^2 integral1^3 (x^2 + y^2) dy , dx é um retângulo com os limites de entre 0 e 2 e de entre 1 e 3, a integral fica assim:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 1 a 3, e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral1^3 (x^2 + y^2) dy = x^2 integral1^3 dy + integral1^3 y^2 dy em relação a . Lembre-se que, ao integrar em relação a , tratamos como uma constante. Então, temos:
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Calculando a primeira parte:
x^2 integral1^3 dy = x^2 [ y ]1^3 = x^2 (3 - 1) = 2x^2
Agora, a segunda parte:
integral1^3 y^2 dy = [ y^33 ]1^3 = 3^33 - 1^33 = 273 - 13 = 9 - 13 = 263
Então, a integral em relação a 2x^2 + 263 fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 (2x^2 + 263) dx = 2 integral0^2 x^2 dx + 263 integral0^2 dx de 0 a 2:
2 integral0^2 x^2 dx = 2 [ x^33 ]0^2 = 2 ( 83 - 0 ) = 163
Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
263 integral0^2 dx = 263 [ x ]0^2 = 263 (2 - 0) = 523
Segunda parte:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
163 + 523 = 683
Então, o valor da integral dupla é .

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