Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x y)=a^x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=a^,x^2+y^2,
onde a>0 é constante. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia (derivada de a^u é a^uln(a),u') e, nos casos de segunda ordem, também a regra do produto.

Passo 2

Calcular fx=partial fpartial x.
Defina u=x^2+y^2, então f=a^u e partial upartial x=2x. Logo, pela cadeia,
fx =partialpartial xl(a^ur) =a^uln(a),partial upartial x =2x,ln(a),a^,x^2+y^2

Passo 3

Calcular fy=partial fpartial y.
Analogamente, partial upartial y=2y, então
fy =2y,ln(a),a^,x^2+y^2

Passo 4

Calcular fxx=partial^2fpartial x^2.
Partimos de fx=2xln(a),a^x^2+y^2. Usamos produto:
fxx =partialpartial xl(2xln(a)r),a^x^2+y^2 +2xln(a),partialpartial xl(a^x^2+y^2r)
Como partialpartial x(2xln(a))=2ln(a) e partialpartial x(a^x^2+y^2)=2xln(a),a^x^2+y^2, temos
fxx =2ln(a),a^x^2+y^2 +2xln(a)cdotl(2xln(a),a^x^2+y^2r) =a^x^2+y^2l(2ln(a)+4x^2(ln(a))^2r)

Passo 5

Calcular fyy=partial^2fpartial y^2.
Análogo ao caso anterior, trocando x por y, obtemos
fyy =a^x^2+y^2l(2ln(a)+4y^2(ln(a))^2r)

Passo 6

Calcular fxy=partial^2fpartial x,partial y.
Derivando fx=2xln(a),a^x^2+y^2 em relação a y:
fxy =2xln(a),partialpartial yl(a^x^2+y^2r) =2xln(a)cdotl(2yln(a),a^x^2+y^2r) =4xy,(ln(a))^2,a^x^2+y^2
E vale fyx=fxy por continuidade.

Resposta

fx=2x,ln(a),a^x^2+y^2,
fy=2y,ln(a),a^x^2+y^2,
fxx=a^x^2+y^2l(2ln(a)+4x^2(ln(a))^2r),
fyy=a^x^2+y^2l(2ln(a)+4y^2(ln(a))^2r),
fxy=fyx=4xy,(ln(a))^2,a^x^2+y^2

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