Mostre que as derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) satisfazem
& partial fpartial x(x, y)=partial fpartial r(r, theta) cos (theta)-1r partial fpartial theta(r, theta) sen(theta) & partial fpartial y(x, y)=partial fpartial r(r, theta) sen(theta)+1r partial fpartial theta(r, theta) cos (theta)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao trocar de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,theta) com
x = rcos(theta), y = rsin(theta),
as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y podem ser escritas em termos de partial f/partial r e partial f/partial theta. O conteúdo principal aqui é usar o diferencial total de f e a regra da cadeia nas transformações
r=raizx^2+y^2, theta=arctanl(y/xr)

Passo 2

Calculamos primeiramente as diferenciais de r e theta em função de dx e dy.
dr =partial rpartial x,dx+partial rpartial y,dy =xr,dx+yr,dy =cos(theta),dx+sen(theta),dy,
dtheta =partial thetapartial x,dx+partial thetapartial y,dy =-yr^2,dx+xr^2,dy =-1rsen(theta),dx +1rcos(theta),dy

Passo 3

A diferencial total de f vista como função de (r,theta) é
df =partial fpartial r,dr +partial fpartial theta,dtheta

Passo 4

Substituindo dr e dtheta em df e agrupando os termos em dx e dy, obtemos
df =l(partial fpartial rcos(theta) -1rpartial fpartial thetasen(theta)r),dx +l(partial fpartial rsen(theta) +1rpartial fpartial thetacos(theta)r),dy
Por outro lado, na forma cartesiana vale
df=partial fpartial x,dx+partial fpartial y,dy
Comparando coeficientes de dx e dy, segue-se imediatamente que
partial fpartial x =partial fpartial rcos(theta) -1rpartial fpartial thetasen(theta), partial fpartial y =partial fpartial rsen(theta) +1rpartial fpartial thetacos(theta)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =partial fpartial r(r,theta)cos(theta) -1rpartial fpartial theta(r,theta)sen(theta),
partial fpartial y(x,y) =partial fpartial r(r,theta)sen(theta) +1rpartial fpartial theta(r,theta)cos(theta)

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