Calcule a soma da série
sumn=0^infty(-1)^n(4 n+1) 2^4 n
Sugestão: A função f(x)=x1+x^4=sumn=0^infty(-1)^n x^4 n em seguida derive em relação a x o primeiro e segundo membro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma da série:
sumn=0^infty(-1)^n(4n+1) 2^4 n
Vamos trabalhar com séries infinitas e funções geradoras. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e diferenciação de séries. Para resolver, vamos utilizar a função sugerida no enunciado e derivados dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que foi dada:
f(x) = x1 + x^4
Essa função pode ser expandida em uma série infinita usando a expansão geométrica. Sabemos que:
11 + x^4 = sumn=0^infty (-1)^n x^4n
Multiplicando ambos os lados por x , temos:
f(x) = x1 + x^4 = sumn=0^infty (-1)^n x^4n + 1

Passo 3

Agora, vamos derivar f(x) em relação a x . A ideia aqui é que, ao derivar a série, conseguiremos uma expressão que se pareça com a que temos no exercício.
Diferenciando o lado esquerdo:
f'(x) = ddx ( x1 + x^4 ) = 1 cdot (1 + x^4) - x cdot 4x^3(1 + x^4)^2 = 1 - 3x^4(1 + x^4)^2

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da igualdade, que é a série:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n + 1
A derivada termo a termo fica:
f'(x) = sumn=0^infty (-1)^n (4n + 1) x^4n

Passo 5

Igualando as duas expressões para f'(x) :
1 - 3x^4(1 + x^4)^2 = sumn=0^infty (-1)^n (4n + 1) x^4n
Nossa série de interesse é:
sumn=0^infty (-1)^n (4n + 1) 2^4n
Perceba que isso é a mesma série que temos na derivada, mas com x = 2 :
sumn=0^infty (-1)^n (4n + 1) 2^4n = 1 - 3 cdot 2^4(1 + 2^4)^2

Resposta

Calculando os valores:
2^4 = 16
Substituindo:
1 - 3 cdot 16(1 + 16)^2 = 1 - 4817^2 = -47289
Portanto, a soma da série é:
boxeddfrac-47289

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