Calcule a soma da série
Sugestão: A função
em seguida derive em relação a
o primeiro e segundo membro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma da série:
Vamos trabalhar com séries infinitas e funções geradoras. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e diferenciação de séries. Para resolver, vamos utilizar a função sugerida no enunciado e derivados dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que foi dada:
Essa função pode ser expandida em uma série infinita usando a expansão geométrica. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. A ideia aqui é que, ao derivar a série, conseguiremos uma expressão que se pareça com a que temos no exercício.
Diferenciando o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da igualdade, que é a série:
A derivada termo a termo fica:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Nossa série de interesse é:
Perceba que isso é a mesma série que temos na derivada, mas com
:
Resposta
Calculando os valores:
Substituindo:
Portanto, a soma da série é: