Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2
Aqui o conteúdo é aplicação da regra da cadeia para obter as derivadas de primeira ordem, e depois uso da regra do produto (ou cadeia novamente) para achar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Para as derivadas parciais de primeira ordem usamos f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^1/2 e a regra da cadeia:
partial fpartial x =12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x =xraizx^2+y^2+z^2,
e, analogamente,
partial fpartial y =yraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial z =zraizx^2+y^2+z^2

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem diagonais. Por exemplo, para partial^2f/partial x^2 derivamos partial f/partial x = x,(x^2+y^2+z^2)^-1/2 em relação a x, usando produto e cadeia:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl[x,(x^2+y^2+z^2)^-1/2r] =(x^2+y^2+z^2)^-1/2 +xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2+z^2)^-3/2cdot 2x
=1raizx^2+y^2+z^2 -x^2(x^2+y^2+z^2)^3/2 =y^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^3/2
Do mesmo modo,
partial^2fpartial y^2 =x^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^3/2, partial^2fpartial z^2 =x^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^3/2

Passo 4

Por fim as derivadas de segunda ordem mistas. Por exemplo,
partial^2fpartial x,partial y =partialpartial yl[x(x^2+y^2+z^2)^1/2r] =xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2+z^2)^-3/2cdot 2y =-x,y(x^2+y^2+z^2)^3/2
Analogamente,
partial^2fpartial x,partial z =-x,z(x^2+y^2+z^2)^3/2, partial^2fpartial y,partial z =-y,z(x^2+y^2+z^2)^3/2

Resposta

partial fpartial x=xraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial y=yraizx^2+y^2+z^2, partial fpartial z=zraizx^2+y^2+z^2,
partial^2fpartial x^2=y^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^3/2, partial^2fpartial y^2=x^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^3/2, partial^2fpartial z^2=x^2+y^2(x^2+y^2+z^2)^3/2,
partial^2fpartial x,partial y =-x,y(x^2+y^2+z^2)^3/2, partial^2fpartial x,partial z =-x,z(x^2+y^2+z^2)^3/2, partial^2fpartial y,partial z =-y,z(x^2+y^2+z^2)^3/2

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