Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
O conteúdo aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia: ao derivar em relação a
ou
, tratamos a outra variável como constante e multiplicamos pela derivada interna do expoente.
Passo 2
Calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, denotada por
. Usamos a regra da cadeia:
Como
, temos
Passo 3
Calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, denotada por
. Novamente, regra da cadeia:
Como
, obtemos
Passo 4
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro
: derivamos
em relação a
. Aplicamos produto e cadeia:
Temos
e
. Logo,
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
. A parte
é constante e vem junto:
Passo 6
Para
, derivamos
em relação a
: