Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=e^x^3+3 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y) = e^x^3 + 3y
O conteúdo aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia: ao derivar em relação a x ou y, tratamos a outra variável como constante e multiplicamos pela derivada interna do expoente.

Passo 2

Calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a x, denotada por fx. Usamos a regra da cadeia:
partialpartial xe^x^3+3y = e^x^3+3ycdotpartialpartial x(x^3+3y)
Como partialpartial x(x^3+3y)=3x^2, temos
fx = 3x^2,e^x^3+3y

Passo 3

Calculando a derivada parcial de primeira ordem em relação a y, denotada por fy. Novamente, regra da cadeia:
partialpartial ye^x^3+3y = e^x^3+3ycdotpartialpartial y(x^3+3y)
Como partialpartial y(x^3+3y)=3, obtemos
fy = 3,e^x^3+3y

Passo 4

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro fxx: derivamos fx=3x^2 e^x^3+3y em relação a x. Aplicamos produto e cadeia:
fxx = partialpartial x(3x^2),e^x^3+3y + 3x^2,partialpartial xe^x^3+3y
Temos partialpartial x(3x^2)=6x e partialpartial xe^x^3+3y=3x^2e^x^3+3y. Logo,
fxx =6x,e^x^3+3y + 3x^2cdot3x^2,e^x^3+3y =(6x + 9x^4),e^x^3+3y

Passo 5

Para fxy, derivamos fx=3x^2 e^x^3+3y em relação a y. A parte 3x^2 é constante e vem junto:
fxy =3x^2;partialpartial ye^x^3+3y =3x^2cdot3,e^x^3+3y =9x^2,e^x^3+3y

Passo 6

Para fyy, derivamos fy=3e^x^3+3y em relação a y:
fyy =3;partialpartial ye^x^3+3y =3cdot3,e^x^3+3y =9,e^x^3+3y

Resposta

fx = 3x^2,e^x^3+3y
fy = 3,e^x^3+3y
fxx = (6x + 9x^4),e^x^3+3y
fxy = 9x^2,e^x^3+3y
fyy = 9,e^x^3+3y

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