Determine o valor da constante k para os quais
(k-3) x-(4-k^2) y+k^2-7 k+6=0
é paralela ao eixo x;

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
(k-3)x - (4-k^2)y + (k^2 - 7k + 6) = 0
e pede os valores de k para os quais ela é paralela ao eixo x. Em geometria analítica, uma reta paralela ao eixo x é uma reta horizontal, ou seja, tem equação do tipo
y = constante,
o que implica que seu coeficiente angular é zero.

Passo 2

Escrevemos a reta na forma geral
A x + B y + C = 0,
onde aqui
A = k - 3, B = -(4 - k^2), C = k^2 - 7k + 6
O coeficiente angular m dessa reta é
m = -AB

Passo 3

Para que a reta seja horizontal (paralela ao eixo x), precisamos de
m = 0 Longrightarrow -AB = 0 Longrightarrow A = 0,
além de Bneq0 (para a equação de reta continuar bem definida).

Passo 4

Impondo A=0 temos
k - 3 = 0 Longrightarrow k = 3
Verificamos Bneq0:
B = -(4 - k^2) = -(4 - 9) = -(-5) = 5 neq 0,
portanto não há degeneração da reta.

Resposta

k = 3

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