Encontre as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y sabendo que z=f(u, v) com u=u(x, y) e v=v(x, y)
f(u, v)=raizu^2+v^2, u(x, y)=3 x y e v(x, y)=e^x+y

Passo 1

O enunciado dá
z = f(u,v) com
f(u,v) = raizu^2 + v^2,
u(x,y) = 3xy,
v(x,y) = e^x+y,
e pede as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de f em relação a u e v. Como
f(u,v) = (u^2 + v^2)^tfrac12,
temos
fu = partialpartial u(u^2+v^2)^tfrac12 = 12(u^2+v^2)^-tfrac12cdot 2u = uraizu^2+v^2,
fv = partialpartial v(u^2+v^2)^tfrac12 = vraizu^2+v^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v em relação a x e y:
u(x,y) = 3xy Longrightarrow ux = 3y, uy = 3x;
v(x,y) = e^x+y Longrightarrow vx = e^x+y, vy = e^x+y

Passo 4

Pela regra da cadeia:
partial zpartial x = fu,ux + fv,vx,
partial zpartial y = fu,uy + fv,vy
Substituindo fu, fv, ux, uy, vx, vy:
partial zpartial x = uraizu^2+v^2cdot 3y + vraizu^2+v^2cdot e^x+y,
partial zpartial y = uraizu^2+v^2cdot 3x + vraizu^2+v^2cdot e^x+y

Passo 5

Por fim, voltamos em u=3xy e v=e^x+y para obter as fórmulas explícitas:
partial zpartial x = 3y,(3xy) ;+; e^x+y,e^x+y raiz(3xy)^2 + l(e^x+yr)^2 = 9xy^2 + e^2(x+y) raiz9x^2y^2 + e^2(x+y),
partial zpartial y = 3x,(3xy) ;+; e^x+y,e^x+y raiz(3xy)^2 + l(e^x+yr)^2 = 9x^2y + e^2(x+y) raiz9x^2y^2 + e^2(x+y)

Resposta

partial zpartial x = 9xy^2 + e^2(x+y) raiz9x^2y^2 + e^2(x+y),
partial zpartial y = 9x^2y + e^2(x+y) raiz9x^2y^2 + e^2(x+y)

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