Verifique se são diferenciáveis as funções dadas nos pontos indicados
nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede verificar se a função
é diferenciável nos pontos
e
. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição por derivadas parciais e a continuidade delas (ou a falta dela) em cada ponto.
Passo 2
Observe que podemos escrever
Em cada região ,
é produto de funções polinomiais em
e
, logo é
nessas regiões. As derivadas parciais são, para
:
e para
:
Na prática,
em toda parte, e
muda de sinal ao cruzar
.
Passo 3
No ponto
temos
, portanto usamos as fórmulas da região
. Assim:
Como as derivadas parciais são contínuas num entorno de
(pois ali
é dada por
), concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 4
No ponto
estamos exatamente sobre a fronteira
. Vamos examinar a derivada parcial em
por meio de limites unilaterais:
limite à direita ( ):
limite à direita (
limite à esquerda (
):
Como os dois limites não coincidem,
não existe em
. Sem derivada parcial em
, a função não pode ser diferenciável ali.
Resposta
Em
: não diferenciável.
Em : diferenciável.
Em