Verifique se são diferenciáveis as funções dadas nos pontos indicados
f(x, y)=|x| y nos pontos (0,2) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede verificar se a função
f(x,y)=|x|,y
é diferenciável nos pontos (0,2) e (1,1). O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e vamos usar a definição por derivadas parciais e a continuidade delas (ou a falta dela) em cada ponto.

Passo 2

Observe que podemos escrever
Em cada região , é produto de funções polinomiais em e , logo é nessas regiões. As derivadas parciais são, para :
e para :
Na prática, em toda parte, e muda de sinal ao cruzar .

Passo 3

No ponto (1,1) temos x=1>0, portanto usamos as fórmulas da região x>0. Assim:
partial fpartial x(1,1)=1, partial fpartial y(1,1)=1
Como as derivadas parciais são contínuas num entorno de (1,1) (pois ali f é dada por x,y), concluímos que f é diferenciável em (1,1).

Passo 4

No ponto (0,2) estamos exatamente sobre a fronteira x=0. Vamos examinar a derivada parcial em x por meio de limites unilaterais:
limite à direita ( h>0):
f(0+h,2)-f(0,2)h =(0+h)cdot2 - 0h =2hh=2
limite à esquerda ( h<0):
f(0+h,2)-f(0,2)h =-,(0+h)cdot2 - 0h =-2hh=-2
Como os dois limites não coincidem, partial f/partial x não existe em (0,2). Sem derivada parcial em x, a função não pode ser diferenciável ali.

Resposta

Em (0,2): não diferenciável.
Em (1,1): diferenciável.

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