Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
f(x, y)=\sqrt{x-1}, curvas de nível para k=-1,0,1;

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
f(x,y)=\sqrt{x-1}.
O conteúdo é análise de domínio de uma raiz quadrada e determinação de curvas de nível definidas por f(x,y)=k.

Passo 2

Para encontrar o domínio, impomos que o radicando seja não-negativo:
x-1\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge1.
Não há restrição sobre y. Logo,
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\ge1\}.

Passo 3

A imagem de f em D é o conjunto de todos os valores possíveis de \sqrt{x-1}. Como \sqrt{x-1} varia de 0 (quando x=1) até +\infty (quando x\to+\infty),
\mathrm{Im}(f)=[0,\infty).

Passo 4

A curva de nível de parâmetro k é o conjunto
\{(x,y)\in D\mid \sqrt{x-1}=k\}.
Para resolver, precisamos de k\ge0 (já que \sqrt{\cdot} não é negativa) e então
x-1=k^2 \quad\Longrightarrow\quad x=k^2+1,
sendo y livre em \mathbb{R}. Se k<0, não há ponto que satisfaça \sqrt{x-1}=k.

Passo 5

Substituindo os valores pedidos:
  • Para k=-1: como k<0, não existe curva de nível.
  • Para k=0: x=0^2+1=1, ou seja, a reta vertical x=1.
  • Para k=1: x=1^2+1=2, ou seja, a reta vertical x=2.

Resposta

Domínio: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\ge1\}
Imagem: [0,\infty)
Curvas de nível: para k=-1 não existe; para k=0 reta x=1; para k=1 reta x=2.

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