Use a regra da cadeira para determinar d z / d t ou d w / d t :
z=\operatorname{sen} x \cos y, x=\pi t, y=\sqrt{t}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = \sin x \,\cos y
onde x e y dependem de t por
x = \pi t, \quad y = \sqrt{t}.
Queremos calcular \dfrac{d z}{d t} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin x\cos y\bigr) = \cos x\;\cos y,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin x\cos y\bigr) = \sin x\;\bigl(-\sin y\bigr) = -\sin x\;\sin y.

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi t) = \pi,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^{1/2}\bigr) = \frac12\,t^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 4

Pela regra da cadeia em multivariáveis,
\frac{d z}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituindo \partial z/\partial x, \partial z/\partial y, dx/dt e dy/dt, e também x=\pi t e y=\sqrt{t}, obtemos
\frac{dz}{dt} = \bigl(\cos x\cos y\bigr)\,\pi + \bigl(-\sin x\sin y\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{t}}
= \pi\,\cos(\pi t)\,\cos(\sqrt{t}) \;-\;\frac{1}{2\sqrt{t}}\,\sin(\pi t)\,\sin(\sqrt{t}).

Resposta

\frac{dz}{dt} = \pi\,\cos(\pi t)\,\cos(\sqrt{t}) \;-\;\frac{1}{2\sqrt{t}}\,\sin(\pi t)\,\sin(\sqrt{t}).

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