Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo:
w=e^x / y, x=r^2-s^2, y=r^3+s^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta usando a regra da cadeia. A função é w(x,y)=e^x/y, com x=r^2-s^2 e y=r^3+s^3. Vamos precisar da definição de derivada parcial, da regra da cadeia e das derivadas de e^u e de quocientes.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a r e s:
$$
\frac{\partial x}{\partial r}=2r,
\frac{\partial x}{\partial s}=-2s,
\frac{\partial y}{\partial r}=3r^2,
\frac{\partial y}{\partial s}=3s^2.
$$

Passo 3

Agora derivamos w=e^x/y parcialmente em relação a x e a y. Como w=e^u com u=x/y, temos:
$$
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{y},e^{x/y},
\frac{\partial w}{\partial y}=-\frac{x}{y2},e{x/y}.
$$

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
$$
\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
$$ Substituindo as derivadas encontradas:
$$
\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{e{x/y}}{y}(2r)+\Bigl(-\frac{x}{y2}e{x/y}\Bigr)(3r2),
\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{e{x/y}}{y}(-2s)+\Bigl(-\frac{x}{y2}e{x/y}\Bigr)(3s2).
$$

Passo 5

Por fim, escrevemos explicitando x=r^2-s^2 e y=r^3+s^3 e fatorando e^x/y:
$$
\frac{\partial w}{\partial r}=e{\frac{r2-s2}{r3+s3}}\Bigl(\frac{2r}{r3+s3}-\frac{3r2(r2-s2)}{(r3+s3)^2}\Bigr),
\frac{\partial w}{\partial s}=e{\frac{r2-s2}{r3+s3}}\Bigl(-\frac{2s}{r3+s3}-\frac{3s2(r2-s2)}{(r3+s3)^2}\Bigr).
$$

Resposta

partial wpartial r=e^tfracr^2-s^2r^3+s^3l(2rr^3+s^3-3r^2,(r^2-s^2)(r^3+s^3)^2r) e partial wpartial s=e^tfracr^2-s^2r^3+s^3l(-2sr^3+s^3-3s^2,(r^2-s^2)(r^3+s^3)^2r).

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