Calcule:
lim x 0(1+2 x)^-3 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0(1+2x)^-3/x
Isso é um caso de forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos reescrever a expressão como exponencial usando logaritmo natural, calcular o limite do expoente e depois voltar ao formato original.

Passo 2

Defina
L = limxto 0(1+2x)^-3/x
Então
ln L = limxto 0 lnl((1+2x)^-3/xr) = limxto 0 -3x,ln(1+2x)
Note que ln(1+2x)to0 e xto0, logo o quociente é da forma 0/0.

Passo 3

Para calcular
ln L = limxto 0 -3,ln(1+2x)x,
aplicamos a regra de l’Hôpital à fração ln(1+2x)x. Derivando numerador e denominador obtemos
limxto 0 ln(1+2x)x = limxto 0 ddxln(1+2x)ddxx = limxto 0 2/(1+2x)1 = 2
Logo
ln L = -3 times 2 = -6

Passo 4

Voltando da forma logarítmica, temos
L = e^ln L = e^-6

Resposta

e^-6

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