Calcule as derivadas parciais de em relação a (e ) nos pontos especificados:
, para )

Passo 1

O enunciado define uma função composta em três variáveis
z(x,y,w)=x^2+x,e^y-w^2
e as relações paramétricas
x=2uv, y=u-v, w=u+v
Queremos calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v no ponto (u,v)=(3,-1), usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais de z em relação a cada variável direta:
zx=partialpartial xl(x^2+x,e^y-w^2r) =2x+e^y-w^2,
zy=partialpartial yl(x^2+x,e^y-w^2r) =x,e^y-w^2,
zw=partialpartial wl(x^2+x,e^y-w^2r) =xcdot e^y-w^2cdot(-2w) =-2w,x,e^y-w^2

Passo 3

Em seguida, derivamos as funções x(u,v), y(u,v) e w(u,v):
xu=2v, yu=1, wu=1;
xv=2u, yv=-1, wv=1

Passo 4

Avaliamo-los em (u,v)=(3,-1):
x=2cdot3cdot(-1)=-6, y=3-(-1)=4, w=3+(-1)=2,
e^y-w^2=e^4-4=e^0=1
Logo
zx=2(-6)+1=-12+1=-11,
zy=-6cdot1=-6,
zw=-2cdot2cdot(-6)cdot1=24

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial u =zx,xu+zy,yu+zw,wu =(-11),(2cdot(-1))+(-6)cdot1+24cdot1 =40,
partial zpartial v =zx,xv+zy,yv+zw,wv =(-11),(2cdot3)+(-6),(-1)+24cdot1 =-36

Resposta

partial zpartial u(3,-1)=40
partial zpartial v(3,-1)=-36

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