Calcule as derivadas parciais, fx e fy, das seguintes funções:
f(x, y)=z^x y;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=z^xy,
onde z é uma base constante e x,y são as variáveis. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada à função exponencial com base fixa: se tivermos a^u, então
ddua^u = a^uln(a)

Passo 2

Para facilitar a diferenciação, escrevemos
f(x,y)=e^xyln(z)
Ao derivar em relação a x, usamos que
partialpartial xe^g(x,y)=e^g(x,y)partial gpartial x
Aqui g(x,y)=xyln(z), então
partial gpartial x=yln(z)
Logo,
fx=partial fpartial x =e^xyln(z)cdot yln(z) =z^xy,yln(z)

Passo 3

De modo análogo, ao derivar em relação a y temos
partial gpartial y=xln(z),
e portanto
fy=partial fpartial y =e^xyln(z)cdot xln(z) =z^xy,xln(z)

Resposta

fx(x,y)=y,z^xyln(z), fy(x,y)=x,z^xyln(z)

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