Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
w=cos (x y+z x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as derivadas parciais da função w = cos(xy + zx) . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis em que vamos calcular as derivadas parciais. No caso, w é função de x , y e z . Então, vamos calcular:
  1. partial wpartial x – derivada parcial de w em relação a x
  2. partial wpartial y – derivada parcial de w em relação a y
  3. partial wpartial z – derivada parcial de w em relação a z

Passo 3

Vamos começar calculando partial wpartial x . A função w é cos(u) , onde u = xy + zx . Usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas:
partial wpartial x = ddu cos(u) cdot partial upartial x
Sabemos que ddu cos(u) = -sin(u) . Agora, calculamos partial upartial x :
partial upartial x = partialpartial x (xy + zx) = y + z
Então,
partial wpartial x = -sin(xy + zx) cdot (y + z)

Passo 4

Agora, vamos calcular partial wpartial y . Novamente, usando a regra da cadeia:
partial wpartial y = ddu cos(u) cdot partial upartial y
Sabemos que ddu cos(u) = -sin(u) . Agora, calculamos partial upartial y :
partial upartial y = partialpartial y (xy + zx) = x
Então,
partial wpartial y = -sin(xy + zx) cdot x

Passo 5

Por fim, vamos calcular partial wpartial z . Usando a mesma abordagem:
partial wpartial z = ddu cos(u) cdot partial upartial z
Sabemos que ddu cos(u) = -sin(u) . Agora, calculamos partial upartial z :
partial upartial z = partialpartial z (xy + zx) = x
Então,
partial wpartial z = -sin(xy + zx) cdot x

Resposta

As derivadas parciais da função w = cos(xy + zx) são:
partial wpartial x = -sin(xy + zx) cdot (y + z)
partial wpartial y = -sin(xy + zx) cdot x
partial wpartial z = -sin(xy + zx) cdot x

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