Seja f(x)=x^2+4 x+1, com x sendo um número real. Seja R a região que consiste dos pontos (x, y) do plano que satisfazem f(x)+f(y) <= 10. Indique o inteiro mais próximo da área de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função quadrática f(x) = x^2 + 4x + 1 e precisa encontrar a área da região R formada pelos pontos (x, y) que satisfazem f(x) + f(y) <= 10 . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, geometria de círculos e cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na função f(x) . A gente pode completar o quadrado para reescrever f(x) . Então:
f(x) = x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3
Isso facilita na hora de trabalhar com a desigualdade.

Passo 3

Agora, substituímos f(x) e f(y) na desigualdade dada:
f(x) + f(y) = (x + 2)^2 - 3 + (y + 2)^2 - 3 <= 10
Simplificando:
(x + 2)^2 + (y + 2)^2 - 6 <= 10 implies (x + 2)^2 + (y + 2)^2 <= 16

Passo 4

Essa última expressão (x + 2)^2 + (y + 2)^2 <= 16 representa a equação de um círculo no plano cartesiano. O centro desse círculo é (-2, -2) e o raio é raiz16 = 4 .

Passo 5

Para encontrar a área da região R , que é o interior desse círculo, usamos a fórmula da área do círculo:
Área = pi r^2 = pi times 4^2 = 16pi Á
Calculando numericamente:
16pi approx 50,265

Resposta

O inteiro mais próximo da área de R é 50.

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