Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo envolvido são os testes de convergência de séries: o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (p-série).
Passo 2
Aplicamos primeiro o critério de Leibniz (séries alternadas). Seja
então os termos em módulo são
Observamos que
é uma sequência positiva, monotonicamente decrescente e tal que
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 3
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Esta é uma p-série com
, e sabemos que toda p-série com
converge. Logo, a série converge absolutamente.
Passo 4
Como a série converge absolutamente, concluímos que ela converge (e de fato de forma absoluta, o que é um resultado mais forte).
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.