Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty (-1)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n-1n^2
O conteúdo envolvido são os testes de convergência de séries: o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (p-série).

Passo 2

Aplicamos primeiro o critério de Leibniz (séries alternadas). Seja
an = (-1)^n-1n^2,
então os termos em módulo são
|an| = 1n^2
Observamos que 1/n^2 é uma sequência positiva, monotonicamente decrescente e tal que
limntoinfty1n^2 = 0
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty 1n^2
Esta é uma p-série com p=2>1, e sabemos que toda p-série com p>1 converge. Logo, a série converge absolutamente.

Passo 4

Como a série converge absolutamente, concluímos que ela converge (e de fato de forma absoluta, o que é um resultado mais forte).

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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