Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a)
e
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo dos
. A região
é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Vamos precisar entender como montar a integral usando esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região
:
-
: Essa é a função logarítmica natural. -
e : Essas são linhas horizontais. -
: Essa é a linha vertical do eixo .
Vamos desenhar um gráfico para visualizar melhor a região que vamos girar.
Passo 3
O próximo passo é determinar os limites de integração. Como vamos girar em torno do eixo dos
, e nossa função está em termos de
, o método dos cilindros é mais conveniente. Nesse método, consideramos fatias verticais da região e calculamos a contribuição de cada cilindro ao volume total.
Passo 4
Vamos expressar
em função de
a partir da equação
. Para isso, resolvemos para
:
Então, a função que vamos usar é
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os limites para
. A região está entre
e
. Portanto, nossa integração será de
até
.
Passo 6
No método dos cilindros, o volume é dado por:
Aqui,
é a distância do cilindro ao eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a altura do cilindro. Como estamos girando em torno do eixo
,
é simplesmente a largura da região em cada
, que aqui é
.
Então, a fórmula fica:
Passo 7
Vamos agora calcular a integral:
Então, substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.