Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) y=ln x, y=-1, y=2 e x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo dos y. A região R é delimitada pelas curvas y = ln x, y = -1, y = 2 e x = 0. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Vamos precisar entender como montar a integral usando esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região R:
  • y = ln x: Essa é a função logarítmica natural.
  • y = -1 e y = 2: Essas são linhas horizontais.
  • x = 0: Essa é a linha vertical do eixo y.
Vamos desenhar um gráfico para visualizar melhor a região que vamos girar.

Passo 3

O próximo passo é determinar os limites de integração. Como vamos girar em torno do eixo dos y, e nossa função está em termos de x, o método dos cilindros é mais conveniente. Nesse método, consideramos fatias verticais da região e calculamos a contribuição de cada cilindro ao volume total.

Passo 4

Vamos expressar x em função de y a partir da equação y = ln x. Para isso, resolvemos para x:
y = ln x implies x = e^y
Então, a função que vamos usar é x = e^y.

Passo 5

Agora, vamos identificar os limites para y. A região está entre y = -1 e y = 2. Portanto, nossa integração será de y = -1 até y = 2.

Passo 6

No método dos cilindros, o volume é dado por:
V = 2pi integrala^b x(y) cdot h(y) , dy
Aqui, x(y) é a distância do cilindro ao eixo de rotação (no caso, o eixo y), e h(y) é a altura do cilindro. Como estamos girando em torno do eixo y, h(y) é simplesmente a largura da região em cada y, que aqui é x = e^y.
Então, a fórmula fica:
V = 2pi integral-1^2 e^y cdot e^y , dy = 2pi integral-1^2 e^2y , dy

Passo 7

Vamos agora calcular a integral:
integral e^2y , dy = 12 e^2y + C
Então, substituindo os limites:
V = 2pi [ 12 e^2y ]-1^2 = pi ( e^4 - e^-2 )

Resposta

O volume do sólido de revolução é V = pi(e^4 - e^-2) unidades cúbicas.

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