Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de z = e^y/x lnl(tfracx^2yr). Isso envolve conteúdo de derivadas parciais e vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para organizar, definimos u(x,y) = e^y/x e v(x,y) = lnl(tfracx^2yr). Assim z = u,v e teremos partialx z = ux,v + u,vx e partialy z = uy,v + u,vy.

Passo 3

Cálculo de partialx z: primeiro ux = e^y/xcdotddx(y/x) = e^y/xl(-tfracyx^2r). Em seguida vx = ddxl(2ln x - ln yr) = tfrac2x. Logo
partialx z = e^y/xl(-tfracyx^2r)lnl(tfracx^2yr) + e^y/xl(tfrac2xr) = e^y/xl(-tfracyx^2lnl(tfracx^2yr) + tfrac2xr)

Passo 4

Cálculo de partialy z: primeiro uy = e^y/xcdotddy(y/x) = e^y/xl(tfrac1xr). Em seguida vy = ddyl(2ln x - ln yr) = -tfrac1y. Logo
partialy z = e^y/xl(tfrac1xr)lnl(tfracx^2yr) + e^y/xl(-tfrac1yr) = e^y/xl(tfrac1xlnl(tfracx^2yr) - tfrac1yr)

Resposta

partial zpartial x=e^y/xl(-yx^2lnl(tfracx^2yr)+2xr),partial zpartial y=e^y/xl(1xlnl(tfracx^2yr)-1yr)

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