Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
sen(-0,01)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar sin(-0,01) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de zero e estimar o erro pelo resto de Lagrange.

Passo 2

Identificamos as derivadas de f(x)=sin(x) em zero: f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0. Assim o polinômio de Taylor de ordem 2 fica dado por
P2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2 = x

Passo 3

Usando P2 para aproximar, temos
sin(-0,01)approx P2(-0,01) = -0,01

Passo 4

Para estimar o erro, usamos o resto de Lagrange de ordem 2: existe xi entre 0 e -0,01 tal que
R2(-0,01)=f^(3)(xi)3!(-0,01)^3 = -cos(xi)6(-0,01)^3
Como |cos(xi)|<=1, obtemos
|R2(-0,01)|<= |-0,01|^36 = 10^-66approx1,667times10^-7

Passo 5

Portanto a aproximação final é -0,01 com erro estimado em no máximo 1,667times10^-7.

Resposta

sin(-0,01)approx -0,01, com erro estimado de até 1,67times10^-7.

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