Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
raiz[4]16,1

Passo 1

O enunciado pede para aproximar raiz[4]16.1 = 16.1^1/4 usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=16 e estimar o erro via resto de Lagrange. Vamos precisar da função f(x)=x^1/4, suas derivadas até a terceira ordem, o polinômio P2(x) e a fórmula do resto.

Passo 2

Definimos a função e suas derivadas gerais:
f(x) = x^1/4,
f'(x) = 14x^-3/4,
f''(x) = -316x^-7/4,
f'''(x) = 2164x^-11/4

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=16 é
P2(x) = f(16) + f'(16)(x-16) + f''(16)2(x-16)^2

Passo 4

Calculamos os valores em a=16:
f(16)=2,
f'(16)=14cdot16^-3/4=132,
f''(16)=-316cdot16^-7/4=-32048

Passo 5

Para x=16.1 temos h=0.1, então
P2(16.1)=2 + 132cdot0.1 + -3/20482cdot(0.1)^2 approx 2.003117676

Passo 6

O resto de Lagrange é dado por
R2(x)=f'''(xi)6(x-16)^3 para algum xiin[16,16.1]. Como f'''(x)=tfrac2164x^-11/4 é decrescente, seu valor máximo no intervalo ocorre em x=16. Logo
M3 = f'''(16)=2164cdot16^-11/4=2164cdot2^-11=21131072

Passo 7

Logo o erro satisfaz
|R2| <= M36|0.1|^3 = 21/1310726times0.001 approx 2.7times10^-8

Resposta

raiz[4]16.1 approx 2.00311768, com erro estimado em até 2.7times10^-8.

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