Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
ln (1,01)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ln(1,01) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=1 e estimar o erro via resto de Lagrange. O conteúdo é série de Taylor e teremos de usar derivadas até a terceira ordem para calcular o resto.

Passo 2

Vamos lembrar do teorema de Taylor: para f com derivadas até a terceira ordem, em torno de a temos
P2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2(x-a)^2,
e o resto de Lagrange
R2(x)=f'''(xi)3!(x-a)^3,
para algum xi entre a e x.
Aqui f(x)=ln x, então

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de f e seus valores em a=1:
f(x)=ln x
f'(x)=1x
f''(x)=-1x^2
f'''(x)=2x^3
Logo,
.

Passo 4

Agora montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 com x=1,01, ou seja, h=x-1=0,01:
P2(1,01)=0+1cdot0,01+-12(0,01)^2
Calculando,
P2(1,01)=0,01-12times10^-4=0,01-0,00005=0,00995

Passo 5

Por fim, estimamos o erro usando o resto de Lagrange. Como xiin[1,1,01], temos f'''(xi)=2/xi^3<=2. Assim,
|R2| <=26(0,01)^3 =26times10^-6 =3,33times10^-7

Resposta

ln(1,01)approx0,00995 com erro estimado menor que 3,33times10^-7.

Exercícios relacionados