Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
e estimar o erro via resto de Lagrange. O conteúdo é série de Taylor e teremos de usar derivadas até a terceira ordem para calcular o resto.
Passo 2
Vamos lembrar do teorema de Taylor: para
com derivadas até a terceira ordem, em torno de
temos
e o resto de Lagrange
para algum
entre
e
.
Aqui , então
Aqui
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
e seus valores em
:
Logo,
.
Passo 4
Agora montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 com
, ou seja,
:
Calculando,
Passo 5
Por fim, estimamos o erro usando o resto de Lagrange. Como
, temos
. Assim,