Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
tg(-0,1)

Passo 1

A questão pede para aproximar usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de 0 e estimar o erro com a fórmula de resto de Lagrange. Vamos precisar das derivadas de até a terceira para montar o polinômio e o termo de resto.

Passo 2

Primeiro calculamos os coeficientes do polinômio de Taylor de ordem 2 em 0. Seja . Temos:

Passo 3

Então o polinômio de Taylor de ordem 2 é
T2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2=0+1cdot x+0= x

Passo 4

O resto de Lagrange de ordem 2 vale
R2(x)=f'''(xi)3!,x^3,
onde f'''(x) é a derivada terceira de . Derivando tg x obtemos
f''(x)=2sec^2xtan x

Passo 5

No intervalo entre 0 e -0,1) temos |sec x|<=1/cos(0,1)approx1,005 e |tan x|<=0,1. Assim
|f'''(xi)|<=4,(1,005)^2,(0,1)^2+2,(1,005)^4approx2,08

Passo 6

Logo a cota de erro é
|R2(-0,1)|<=2,08,(0,1)^36approx3,5times10^-4

Resposta

com erro estimado de até tg(-0,1)approx-0,1.

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