Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função
e apresentar a resposta como um vetor gradiente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e entender como aplicar isso em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função em relação a
:
-
Para o termo
: - A derivada de
em relação a é . - Então,
.
- A derivada de
-
Para o termo
: - A derivada de
em relação a é . - Então,
.
- A derivada de
Passo 4
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para encontrar
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Passo 6
Vamos derivar cada termo da função em relação a
:
-
Para o termo
: - A derivada de
em relação a é 1. - Então,
.
- A derivada de
-
Para o termo
: - A derivada de
em relação a é 1. - Então,
.
- A derivada de
Passo 7
Agora, somamos as derivadas dos dois termos para encontrar
:
Resposta
O vetor gradiente de
é dado por: