Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
f(x, y)=y x^3-2 y ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = y x^3 - 2 y ln x e apresentar a resposta como um vetor gradiente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e entender como aplicar isso em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função em relação a x :
  1. Para o termo y x^3 :
    • A derivada de x^3 em relação a x é 3x^2 .
    • Então, partialpartial x (y x^3) = y cdot 3x^2 = 3y x^2 .
  2. Para o termo -2 y ln x :
    • A derivada de ln x em relação a x é 1x .
    • Então, partialpartial x (-2 y ln x) = -2y cdot 1x = -2yx .

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para encontrar partial fpartial x :
partial fpartial x = 3y x^2 - 2yx

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante e derivamos em relação a y .

Passo 6

Vamos derivar cada termo da função em relação a y :
  1. Para o termo y x^3 :
    • A derivada de y em relação a y é 1.
    • Então, partialpartial y (y x^3) = x^3 .
  2. Para o termo -2 y ln x :
    • A derivada de y em relação a y é 1.
    • Então, partialpartial y (-2 y ln x) = -2 ln x .

Passo 7

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para encontrar partial fpartial y :
partial fpartial y = x^3 - 2 ln x

Resposta

O vetor gradiente de f(x, y) é dado por:
nabla f(x, y) = ( 3y x^2 - 2yx, x^3 - 2 ln x )

Exercícios relacionados