Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=x(3+x)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função y(x) = x(3 + x)^2 . Isso envolve descobrir onde a função atinge valores máximos ou mínimos, ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função y(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Vamos derivar y(x) = x(3 + x)^2 .
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
y'(x) = ddx [ x cdot (3 + x)^2 ] = (3 + x)^2 + x cdot 2(3 + x) cdot 1
Simplificando:
y'(x) = (3 + x)^2 + 2x(3 + x) = (3 + x)(3 + x + 2x) = (3 + x)(3 + 3x)
Então:
y'(x) = 3(3 + x)(1 + x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo x , então basta resolver y'(x) = 0 :
3(3 + x)(1 + x) = 0
Isso acontece quando:
3 + x = 0 ou 1 + x = 0
Resolvendo:
x = -3 ou x = -1

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada y''(x) .
Primeiro, encontramos y''(x) . Derivando y'(x) = 3(3 + x)(1 + x) :
y''(x) = 3 [ (1)(1 + x) + (3 + x)(1) ] = 3(1 + x + 3 + x) = 3(4 + 2x) = 12 + 6x
Agora, avaliamos y''(x) nos pontos críticos:
  • Para x = -3 :
y''(-3) = 12 + 6(-3) = 12 - 18 = -6 (negativo, então máximo) ãá
  • Para x = -1 :
y''(-1) = 12 + 6(-1) = 12 - 6 = 6 (positivo, então mínimo) ãí

Passo 5

Por fim, vamos calcular o valor da função nos extremos encontrados:
  • Para x = -3 :
y(-3) = (-3)(3 + (-3))^2 = (-3)(0)^2 = 0
  • Para x = -1 :
y(-1) = (-1)(3 + (-1))^2 = (-1)(2)^2 = (-1)(4) = -4

Resposta

A função y(x) = x(3 + x)^2 tem:
  • Um ponto de máximo relativo em x = -3 com y(-3) = 0 .
  • Um ponto de mínimo relativo em x = -1 com y(-1) = -4 .

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