Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
. Isso envolve descobrir onde a função atinge valores máximos ou mínimos, ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Vamos derivar
.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo
, então basta resolver
:
Isso acontece quando:
Resolvendo:
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada
.
Primeiro, encontramos
. Derivando
:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o valor da função nos extremos encontrados:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A função
tem:
- Um ponto de máximo relativo em
com . - Um ponto de mínimo relativo em
com .