Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função
é monótona para
. Isso significa descobrir se a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo nesse intervalo. Se for monótona, a gente também vai classificar como crescente ou decrescente e calcular a derivada da função inversa. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona o conceito de derivada e como ela está relacionada ao comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando: se está aumentando ou diminuindo. A derivada de
em relação a
é dada por:
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, onde a derivada de
é
:
Agora, derivando
:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de
para
. Sabemos que:
-
é sempre positivo para . -
também é positivo para , já que é positivo e estamos somando 2.
Portanto,
é sempre positivo para
. Isso significa que a função
está sempre aumentando nesse intervalo, ou seja, é crescente.
Passo 5
Como a função
é crescente e contínua para
, ela possui uma função inversa
. Para encontrar a derivada da função inversa, usamos a fórmula:
Isso nos diz que a derivada da inversa em um ponto
é o inverso da derivada da função original no ponto
.
Resposta
A função
é crescente para
e a derivada da sua função inversa é: