Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
f(x)=(x^3+2)^2, para x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função f(x) = (x^3 + 2)^2 é monótona para x > 0 . Isso significa descobrir se a função está sempre aumentando ou sempre diminuindo nesse intervalo. Se for monótona, a gente também vai classificar como crescente ou decrescente e calcular a derivada da função inversa. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona o conceito de derivada e como ela está relacionada ao comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando: se está aumentando ou diminuindo. A derivada de f(x) em relação a x é dada por:
f'(x) = ddx( (x^3 + 2)^2 )
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, onde a derivada de (g(x))^n é n cdot (g(x))^n-1 cdot g'(x) :
f'(x) = 2 cdot (x^3 + 2)^1 cdot ddx(x^3 + 2)
Agora, derivando x^3 + 2 :
ddx(x^3 + 2) = 3x^2
Então, substituindo de volta:
f'(x) = 2 cdot (x^3 + 2) cdot 3x^2 = 6x^2 (x^3 + 2)

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de f'(x) para x > 0 . Sabemos que:
  • x^2 é sempre positivo para x neq 0 .
  • x^3 + 2 também é positivo para x > 0 , já que x^3 é positivo e estamos somando 2.
Portanto, f'(x) = 6x^2 (x^3 + 2) é sempre positivo para x > 0 . Isso significa que a função f(x) está sempre aumentando nesse intervalo, ou seja, é crescente.

Passo 5

Como a função f(x) é crescente e contínua para x > 0 , ela possui uma função inversa f^-1(y) . Para encontrar a derivada da função inversa, usamos a fórmula:
ddyf^-1(y) = 1f'(f^-1(y))
Isso nos diz que a derivada da inversa em um ponto y é o inverso da derivada da função original no ponto x = f^-1(y) .

Resposta

A função f(x) = (x^3 + 2)^2 é crescente para x > 0 e a derivada da sua função inversa é:
ddyf^-1(y) = 16 (f^-1(y))^2 ((f^-1(y))^3 + 2)

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