Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=x^3+2 x^2

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem a função y(x) = x^3 + 2x^2 e precisamos encontrar os extremos relativos dela. Isso significa que vamos descobrir onde a função tem pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y(x) . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função é:
y(x) = x^3 + 2x^2
A derivada de y em relação a x é:
y'(x) = ddx(x^3) + ddx(2x^2)
y'(x) = 3x^2 + 4x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir extremos relativos), igualamos a derivada a zero:
3x^2 + 4x = 0
Vamos resolver essa equação:
x(3x + 4) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 0
3x + 4 = 0 Rightarrow x = -43
Então, temos dois pontos críticos: x = 0 e x = -43 .

Passo 4

Para determinar se esses pontos são pontos de máximo, mínimo ou inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “curvada para cima” ou “curvada para baixo”.
Vamos calcular a segunda derivada:
y''(x) = ddx(y'(x)) = ddx(3x^2 + 4x)
y''(x) = 6x + 4

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados.
Para x = 0 :
y''(0) = 6(0) + 4 = 4
Como y''(0) > 0 , isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um ponto de mínimo.
Para x = -43 :
y''(-43) = 6(-43) + 4 = -8 + 4 = -4
Como y''(-43) < 0 , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo.

Passo 6

Vamos agora calcular os valores da função nesses pontos críticos.
Para x = 0 :
y(0) = (0)^3 + 2(0)^2 = 0
Para x = -43 :
y(-43) = (-43)^3 + 2(-43)^2
y(-43) = -6427 + 2(169)
y(-43) = -6427 + 3227 = -3227

Resposta

A função y(x) = x^3 + 2x^2 possui dois extremos relativos:
  • Um ponto de máximo em x = -43 com y = -3227 .
  • Um ponto de mínimo em x = 0 com y = 0 .

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