Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem a função
e precisamos encontrar os extremos relativos dela. Isso significa que vamos descobrir onde a função tem pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir extremos relativos), igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos são pontos de máximo, mínimo ou inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “curvada para cima” ou “curvada para baixo”.
Vamos calcular a segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados.
Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um ponto de mínimo.
Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo.
Passo 6
Vamos agora calcular os valores da função nesses pontos críticos.
Para
:
Para
:
Resposta
A função
possui dois extremos relativos:
- Um ponto de máximo em
com . - Um ponto de mínimo em
com .