Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
f(x)=raizx^2+1, forall x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função f(x) = raizx^2 + 1 . A questão pede para a gente verificar se essa função é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Se for monótona, a gente também precisa dizer se é crescente ou decrescente e calcular a derivada da função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções monótonas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser monótona. Uma função é crescente se, conforme x aumenta, f(x) também aumenta. Ela é decrescente se, conforme x aumenta, f(x) diminui. Para saber isso, a gente olha para a derivada da função, f'(x) . Se f'(x) > 0 para todo x no domínio, a função é crescente. Se f'(x) < 0 para todo x , é decrescente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = raizx^2 + 1 . Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
f(x) = (x^2 + 1)^12
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = 12(x^2 + 1)^-12 cdot 2x = xraizx^2 + 1

Passo 4

Vamos analisar o sinal de f'(x) = xraizx^2 + 1 . O denominador raizx^2 + 1 é sempre positivo, porque é a raiz quadrada de uma soma de quadrados. Então, o sinal de f'(x) depende apenas do numerador, x .
  • Se x > 0 , f'(x) > 0 → função é crescente.
  • Se x < 0 , f'(x) < 0 → função é decrescente.
  • Se x = 0 , f'(x) = 0 .

Passo 5

Então, a função f(x) = raizx^2 + 1 não é monótona no seu domínio inteiro, porque ela não é sempre crescente nem sempre decrescente. Ela é decrescente para x < 0 , crescente para x > 0 e tem um ponto de mínimo em x = 0 .

Resposta

A função f(x) = raizx^2 + 1 não é monótona em todo o seu domínio, pois é decrescente para x < 0 e crescente para x > 0 . Portanto, não existe uma única derivada para a função inversa em todo o domínio.

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