Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função
. A questão pede para a gente verificar se essa função é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Se for monótona, a gente também precisa dizer se é crescente ou decrescente e calcular a derivada da função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções monótonas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser monótona. Uma função é crescente se, conforme
aumenta,
também aumenta. Ela é decrescente se, conforme
aumenta,
diminui. Para saber isso, a gente olha para a derivada da função,
. Se
para todo
no domínio, a função é crescente. Se
para todo
, é decrescente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
. O denominador
é sempre positivo, porque é a raiz quadrada de uma soma de quadrados. Então, o sinal de
depende apenas do numerador,
.
- Se
, → função é crescente. - Se
, → função é decrescente. - Se
, .
Passo 5
Então, a função
não é monótona no seu domínio inteiro, porque ela não é sempre crescente nem sempre decrescente. Ela é decrescente para
, crescente para
e tem um ponto de mínimo em
.
Resposta
A função
não é monótona em todo o seu domínio, pois é decrescente para
e crescente para
. Portanto, não existe uma única derivada para a função inversa em todo o domínio.