Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de calcular as derivadas parciais da função
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo das derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis
e
individualmente. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções com múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Aqui, vamos derivar
tratando
como uma constante.
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Portanto:
Resposta
O vetor gradiente de
é dado por: