Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
f(x, y)==x^2 y^2-e^x y

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = x^2 y^2 - e^x y . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo das derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis x e y individualmente. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que é denotada por partial fpartial x . Isso significa que vamos derivar f tratando y como uma constante.
A função é:
f(x, y) = x^2 y^2 - e^x y
Derivando termo a termo em relação a x :
  1. A derivada de x^2 y^2 em relação a x é 2x y^2 .
  2. A derivada de e^x y em relação a x é y e^x y (usando a regra da cadeia).
Portanto:
partial fpartial x = 2x y^2 - y e^x y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , denotada por partial fpartial y . Aqui, vamos derivar f tratando x como uma constante.
Derivando termo a termo em relação a y :
  1. A derivada de x^2 y^2 em relação a y é 2x^2 y .
  2. A derivada de e^x y em relação a y é x e^x y (novamente, usando a regra da cadeia).
Portanto:
partial fpartial y = 2x^2 y - x e^x y

Resposta

O vetor gradiente de f é dado por:
nabla f = ( 2x y^2 - y e^x y, 2x^2 y - x e^x y )

Exercícios relacionados