Calcule a terceira derivada, y^prime prime prime(x), das seguintes funções:
y(x)=log 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de calcular a terceira derivada da função y(x) = log2 x . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções logarítmicas. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e aplicar as regras de derivação sucessivamente até chegar à terceira derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função logarítmica em termos de logaritmo natural, já que é mais fácil derivar. Lembrando que log2 x = ln xln 2 . Então, nossa função fica:
y(x) = ln xln 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada y'(x) . A derivada de ln x em relação a x é 1x . Como 1ln 2 é uma constante, temos:
y'(x) = 1x ln 2

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada y''(x) . Vamos derivar y'(x) = 1x ln 2 . A derivada de 1x é -1x^2 , então:
y''(x) = -1x^2 ln 2

Passo 5

Agora, vamos calcular a terceira derivada y'''(x) , que é o que o exercício pede. Derivamos y''(x) = -1x^2 ln 2 . A derivada de -1x^2 é 2x^3 , então:
y'''(x) = 2x^3 ln 2

Resposta

A terceira derivada da função y(x) = log2 x é:
y'''(x) = 2x^3 ln 2

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