Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
f(x)=1raiz[3]x, para x<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $ é monótona no intervalo onde $ x < 0 $. Se for monótona, precisamos dizer se ela é crescente ou decrescente e, além disso, calcular a derivada da função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades de funções monótonas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser monótona. Uma função é crescente se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta. Ela é decrescente se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ diminui. Para verificar isso, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $, porque o sinal da derivada nos indica se a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $. Primeiro, reescrevemos a função de uma forma que facilita a diferenciação:
f(x) = 1raiz[3]x
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
f(x) = x^-1/3

Passo 4

Observando a derivada $ f’(x) = -\frac{1}{3x^{4/3}} $, percebemos que o denominador $ x^{4/3} $ é sempre positivo para $ x < 0 $ (já que a raiz cúbica de um número negativo é negativo, mas elevado ao quarto poder fica positivo). Portanto, $ f’(x) $ será sempre negativo nesse intervalo.

Passo 5

Como a derivada $ f’(x) $ é negativa para todo $ x < 0 $, isso significa que a função $ f(x) $ está sempre decrescente nesse intervalo. Então, $ f(x) $ é uma função monótona decrescente para $ x < 0 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa de $ f(x) $. Primeiro, encontramos a função inversa. Seja $ y = f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $. Para encontrar $ f^{-1}(y) $, resolvemos para $ x $:
f(x)
y = f(x) = 1raiz[3]x
f^-1(y)
x
Então, a função inversa é $ f^{-1}(y) = y^{-3} $.

Passo 7

Vamos calcular a derivada de $ f^{-1}(y) = y^{-3} $:
f^-1(y) = y^-3

Resposta

A função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $ é monótona decrescente para $ x < 0 $. A derivada da função inversa é $ f^{-1}{}’(y) = -\frac{3}{y^{4}} $.

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