Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $ é monótona no intervalo onde $ x < 0 $. Se for monótona, precisamos dizer se ela é crescente ou decrescente e, além disso, calcular a derivada da função inversa. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades de funções monótonas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser monótona. Uma função é crescente se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ também aumenta. Ela é decrescente se, conforme $ x $ aumenta, $ f(x) $ diminui. Para verificar isso, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $, porque o sinal da derivada nos indica se a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $. Primeiro, reescrevemos a função de uma forma que facilita a diferenciação:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
Passo 4
Observando a derivada $ f’(x) = -\frac{1}{3x^{4/3}} $, percebemos que o denominador $ x^{4/3} $ é sempre positivo para $ x < 0 $ (já que a raiz cúbica de um número negativo é negativo, mas elevado ao quarto poder fica positivo). Portanto, $ f’(x) $ será sempre negativo nesse intervalo.
Passo 5
Como a derivada $ f’(x) $ é negativa para todo $ x < 0 $, isso significa que a função $ f(x) $ está sempre decrescente nesse intervalo. Então, $ f(x) $ é uma função monótona decrescente para $ x < 0 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa de $ f(x) $. Primeiro, encontramos a função inversa. Seja $ y = f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $. Para encontrar $ f^{-1}(y) $, resolvemos para $ x $:
Então, a função inversa é $ f^{-1}(y) = y^{-3} $.
Passo 7
Vamos calcular a derivada de $ f^{-1}(y) = y^{-3} $:
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $ é monótona decrescente para $ x < 0 $. A derivada da função inversa é $ f^{-1}{}’(y) = -\frac{3}{y^{4}} $.