Calcule a terceira derivada, y^prime prime prime(x), das seguintes funções:
y(x)=raiz[3]x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a terceira derivada, y'''(x), da função y(x) = raiz[3]x - 1. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas sucessivas e manipulação de potências. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando potências fracionárias para facilitar a diferenciação:
y(x) = (x - 1)^13

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada, y'(x). A regra que usamos aqui é a da derivada de uma função potência, que diz que se y = u^n, então y' = n cdot u^n-1 cdot u'. No nosso caso, u = x - 1 e n = 13.
Aplicando a regra:
y'(x) = 13 cdot (x - 1)^13 - 1 cdot 1 = 13 cdot (x - 1)^-23

Passo 4

Vamos pro segundo derivada, y''(x). Novamente, aplicamos a regra da potência:
y''(x) = 13 cdot (-23) cdot (x - 1)^-23 - 1 = -29 cdot (x - 1)^-53

Passo 5

Por fim, vamos calcular a terceira derivada, y'''(x):
y'''(x) = -29 cdot (-53) cdot (x - 1)^-53 - 1 = 1027 cdot (x - 1)^-83

Resposta

A terceira derivada da função é:
y'''(x) = 1027 cdot (x - 1)^-83

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