Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
f(x, y)=x 2^y+x(log 2 y x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial onde precisamos calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = x cdot 2^y + x cdot log2(yx) . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas. Nosso objetivo é encontrar o vetor gradiente dessa função, que é composto pelas derivadas parciais em relação a x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é:
f(x, y) = x cdot 2^y + x cdot log2(yx)
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de x cdot 2^y em relação a x :
    • Como 2^y é constante em relação a x , a derivada é simplesmente 2^y .
  2. Derivada de x cdot log2(yx) em relação a x :
    • Usamos a regra do produto: ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v' , onde u = x e v = log2(yx) .
    • Derivada de u = x em relação a x é 1.
    • Derivada de v = log2(yx) em relação a x é:
ddx log2(yx) = 1yx cdot ln 2 cdot y = 1x cdot ln 2
  • Então, a derivada do termo é:
1 cdot log2(yx) + x cdot 1x cdot ln 2 = log2(yx) + 1ln 2
Somando as derivadas dos dois termos:
partial fpartial x = 2^y + log2(yx) + 1ln 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de x cdot 2^y em relação a y :
    • A derivada de 2^y em relação a y é 2^y cdot ln 2 .
    • Então, a derivada do termo é:
x cdot 2^y cdot ln 2
  1. Derivada de x cdot log2(yx) em relação a y :
    • Como x é constante em relação a y , podemos derivar apenas log2(yx) :
ddy log2(yx) = 1yx cdot ln 2 cdot x = 1y cdot ln 2
  • Então, a derivada do termo é:
x cdot 1y cdot ln 2 = xy cdot ln 2
Somando as derivadas dos dois termos:
partial fpartial y = x cdot 2^y cdot ln 2 + 1y cdot ln 2

Resposta

O vetor gradiente da função f(x, y) é dado por:
nabla f(x, y) = [ partial fpartial x, partial fpartial y ] = [ 2^y + log2(yx) + 1ln 2, ; x cdot 2^y cdot ln 2 + 1y cdot ln 2 ]

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