Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial onde precisamos calcular as derivadas parciais da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas. Nosso objetivo é encontrar o vetor gradiente dessa função, que é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Derivando termo a termo:
-
Derivada de
em relação a : - Como
é constante em relação a , a derivada é simplesmente .
- Como
-
Derivada de
em relação a : - Usamos a regra do produto:
, onde e . - Derivada de
em relação a é 1. - Derivada de
em relação a é:
- Usamos a regra do produto:
- Então, a derivada do termo é:
Somando as derivadas dos dois termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a : - A derivada de
em relação a é . - Então, a derivada do termo é:
- A derivada de
- Derivada de
em relação a : - Como
é constante em relação a , podemos derivar apenas :
- Como
- Então, a derivada do termo é:
Somando as derivadas dos dois termos:
Resposta
O vetor gradiente da função
é dado por: