Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais da função
e apresentar o resultado na forma de um vetor gradiente. Isso significa que vamos encontrar as taxas de variação de
em relação a
e a
separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante. A função fica:
Podemos reescrever isso como:
Agora, derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , já que é constante. - A derivada de
em relação a é 0, porque não há nesse termo.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Aqui, precisamos usar a regra do quociente, que diz que se temos
, então a derivada é:
Aplicando isso:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente. O vetor gradiente é simplesmente:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
O vetor gradiente de
é: