Calcule as derivadas parciais das seguintes funções. Apresente sua resposta na forma de um vetor gradiente.
f(x, y)=x+e^yy

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = x + e^yy e apresentar o resultado na forma de um vetor gradiente. Isso significa que vamos encontrar as taxas de variação de f em relação a x e a y separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
Quando derivamos em relação a x , tratamos y como uma constante. A função fica:
f(x, y) = x + e^yy
Podemos reescrever isso como:
f(x, y) = xy + e^yy
Agora, derivando termo a termo em relação a x :
  • A derivada de xy em relação a x é 1y , já que y é constante.
  • A derivada de e^yy em relação a x é 0, porque não há x nesse termo.
Então:
partial fpartial x = 1y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
A função é:
f(x, y) = x + e^yy
Aqui, precisamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uv , então a derivada é:
du/dy cdot v - u cdot dv/dyv^2
Aplicando isso:
  • u = x + e^y
  • v = y
  • du/dy = e^y
  • dv/dy = 1
Então:
partial fpartial y = e^y cdot y - (x + e^y) cdot 1y^2
Simplificando:
partial fpartial y = y e^y - x - e^yy^2 = (y - 1) e^y - xy^2

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente. O vetor gradiente é simplesmente:
nabla f = [ partial fpartial x, partial fpartial y ]
Substituindo as derivadas que encontramos:
nabla f = [ 1y, (y - 1) e^y - xy^2 ]

Resposta

O vetor gradiente de f(x, y) = x + e^yy é:
nabla f = [ 1y, (y - 1) e^y - xy^2 ]

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