Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
é monótona. Se for monótona, precisamos classificar se é crescente ou decrescente e calcular a derivada da sua função inversa. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise de funções monótonas, derivadas e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser monótona. Uma função é monótona crescente se, para todo
, temos
. Por outro lado, é monótona decrescente se, para todo
,
.
Passo 3
Para determinar se
é monótona, vamos analisar o comportamento da função à medida que
aumenta. Podemos reescrever a função usando potências positivas:
Agora, observamos que
é uma função exponencial crescente, pois a base
é maior que 1. Isso significa que, conforme
aumenta,
também aumenta.
Passo 4
Como concluímos que
é uma função crescente, sabemos que ela é monótona crescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa de
. Para isso, primeiro encontramos a função inversa
.
Sabemos que para funções inversas:
A derivada de
em relação a
é dada por:
Resposta
A função
é monótona crescente e a derivada de sua função inversa é
.