Verifique se as funções a seguir são monótonas. Caso verdadeiro, classifique se crescente ou decrescente e calcule a derivada da função inversa.
f(x)=0,5^-x, forall x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função f(x) = 0,5^-x é monótona. Se for monótona, precisamos classificar se é crescente ou decrescente e calcular a derivada da sua função inversa. Para isso, vamos utilizar conceitos de análise de funções monótonas, derivadas e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser monótona. Uma função é monótona crescente se, para todo x1 < x2 , temos f(x1) < f(x2) . Por outro lado, é monótona decrescente se, para todo x1 < x2 , f(x1) > f(x2) .

Passo 3

Para determinar se f(x) = 0,5^-x é monótona, vamos analisar o comportamento da função à medida que x aumenta. Podemos reescrever a função usando potências positivas:
f(x) = (12)^-x = 2^x
Agora, observamos que 2^x é uma função exponencial crescente, pois a base 2 é maior que 1. Isso significa que, conforme x aumenta, f(x) também aumenta.

Passo 4

Como concluímos que f(x) = 2^x é uma função crescente, sabemos que ela é monótona crescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa de f(x) . Para isso, primeiro encontramos a função inversa f^-1(y) .
Sabemos que para funções inversas:
f^-1(y) = log2(y)
A derivada de f^-1(y) em relação a y é dada por:
ddy f^-1(y) = 1y ln 2

Resposta

A função f(x) = 0,5^-x é monótona crescente e a derivada de sua função inversa é 1y ln 2 .

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